順列

息子の学校で順列組み合わせの試験があるとのことで今日、にわか家庭教師に変身。
n個の順列の数は、並べたときに持ってこれる可能性のある場合の数に注目し、最初はn個、次は使った数の1個だけ少なくなっているからn-1個、次はn-2という具合に順に掛け合わせて、結局 n×(n-1)×・・・×2×1だよね、といった具合に、お互いに理屈を確かめながらにわか授業は進んでいく。

ちょっと変化球の順列問題としてテーブルにn人の人が座ればどうなるの?などというのがある。ぐるっと回っているのだから同じ場合がいくつも出てきて、さてどうしたものかと惑わされるのだが、そこにいるあるひとりだけを見つめると問題は解決する。ひとりを決めると、その人との位置関係は固定されるので、周りの人の位置は普通の順列問題になる。

つまりn人からひとり引いた順列を考えればいいわけで(n-1)×(n-2)・・・×2×1 とnからひとつ引いたものまでをかけ合わせれば求める数になるだね。

ってな感じでにわか授業は終了したのだが、なんとなく物足りなく感じひとりでなにか面白いひねりがないかと考えていると、ふと紙をひねってみたくなった。いわゆるメビウスの帯に書いたらどうなるのだろう。

メビウスの帯に1、2、3、・・・n-2、n-1、nと書くと、その順列の数は、n×(n-1)×・・・×2×1となるはず。

えーとぐるっとまわっているテーブルのときはn-1までかけ合わせればいいんだったよね。
1個はどこにいったのだろう。

いろいろ考えてみたがなんとなく理解できるようで、でもはっきりしない。分かったことは、いま”ひとつ”分からない、ということだけでした。